第一作者：翁同峰

通讯作者：翁同峰、Michael Small

发表期刊：Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation

期刊5-Year Impact Factor：4.015

通讯单位：杭州师范大学阿里巴巴商学院；西澳大利亚大学

论文DOI：https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2022.106452

图片摘要

成果简介

      近日，杭州师范大学阿里巴巴商学院翁同峰副教授在非线性科学领域著名学术期刊Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation上发表了题为“Modeling chaotic systems: Dynamical equations vs machine learning approach”的研究论文。混沌系统在现实世界中广泛存在，由于混沌系统的时空复杂性，人们往往很难给出现实世界中混沌系统的动力学方程。本文中研究团队利用经典的机器学习方法“储计算”给出了复杂系统建模的统一化方法，该方法可以准确的还原复杂系统在时间和空间尺度上的特征量。此外，通过驱动响应方法，可以实现“储计算”与复杂系统之间相互同步和耦合同步。研究表明“储计算”方法为复杂系统建模提供了统一化范式。

引言

自洛伦兹关于《决定性的非周期流》这一开创性工作以来，混沌在近几十年里一直受到人们的关注。混沌动力学的重要性源于其在我们生活中的广泛相关性——从太阳活动、天气预报、金融市场，到人体健康等等。同时，越来越多的研究表明混沌系统具有各种各样有趣的特征，例如自相似结构和不稳定周期轨道等。一般来说，如果想要预测、分类或控制一个混沌系统，最有效的方法就是通过解析方程对这样的系统进行建模。然而，在现实世界中很少存在具有已知动力学方程的混沌系统。

近年来，通过储计算方法对混沌系统进行无模型预测取得了显著进展。特别是，大量研究表明这种方法能够预测低维混沌系统、推断不可测变量、检测混沌信号、甚至预测大型时空混沌系统。除了预测之外，越来越多的研究开始探索经过训练的储计算模型中包含的长期遍历行为，如李亚普诺指数、吸引子重建和关联维数等。在这种背景下，一个有趣的问题是:我们是否可以使用储计算方法来精确描述混沌系统，而不再用动力学方程? 因此，本研究分析了储计算模型和动力方程之间的等价性。

图文导图

图1：Hénon映射及经过训练的储计算模型分别关于(a)平均回归时间⟨T⟩和(b)回归时间的方差σ的比较。(c)和(d)在Lorenz系统上进行类似的比较。

      为了比较Hénon映射及经过训练的储计算模型生成的预测轨迹之间的区别，本研究采用了平均回归时间来进行量化比较。有趣的是，结果显示当观察平均回归时间⟨T⟩和回归时间T的方差σ时，两者都出现了明显的幂律特征，例如: ⟨T⟩∼和σ∼（图1(a)和(b)）。结果表明这些幂律行为完全和Hénon映射的相匹配。同时，从这些直线估计得到的斜率为d =−1.22和γ =−2.47，这与参考文献中报道的结果一致。进一步地将同样的计算应用到Lorenz系统，结果发现在Lorenz系统和其经过训练的储计算模型之间也实现了类似的幂律行为（图1(c)和(d)）。实验结果表明，储计算模型的回归时间与混沌系统的回归时间没有区别。

图2: Hénon映射及经过训练的储计算模型相对于不同网络统计量的比较:(a)平均度⟨k⟩，(b)聚类系数C和(c)能量E。(d-f)在Lorenz系统上进行相同的比较。

      除了回归时间，本研究还从复杂网络的角度进一步探讨了Hénon映射及经过训练的储计算模型之间的等价性，其中可以使用许多网络度量。本研究采用了递归方法将动力系统转变成的网络，再用平均度⟨K⟩、聚类系数C和能量E分别从局部、中间和全局角度观察网络性质。结果发现无论是Hénon映射还是Lorenz系统，储计算的三个网络测量值与原始混沌系统几乎相同（图2）。这些发现表明，即使从复杂网络的角度来看，储计算模型也与原始的混沌系统相同。

图3: (a)经过训练的储计算模型与Hénon映射的y变量完全同步。(b) Hénon映射对应的差异∆y随时间变化的函数。(c) 以y作为驱动Lorenz系统与经过训练的储计算模型的同步。(d)经过训练的储计算与Lorenz系统之间的差异∆x和∆z。

       此外，本研究还证明了混沌系统的动力学方程和储计算模型之间可以发生同步。这种同步可以通过共享一个公共变量来实现。在之前的研究中，我们已经证实通过将一个信号从动力系统传输到经过训练的储计算模型会出现同步现象。本研究进一步用经过训练的储计算模型作为驱动系统以及动力系统作为响应。结果发现两者之间仍然能够实现同步（图3）。结果间接地证明经过训练的储计算模型可以作为其学习的动力学方程的替代方案，能够成功地对混沌系统进行建模。

图4：(a)在不同耦合强度ρ下的差异。同步发生在ρ∈[0.2,1]的区间。(b) x变量和最大李亚普诺夫指数λ作为耦合强度ρ的函数的示意图。(c)平均回归时间⟨T⟩在不同耦合强度ρ下关于的函数。(d)平均回归时间方差在不同耦合强度ρ下关于的函数。在插图中分别显示了d和γ的估计值关于ρ的分布。

      最后，为了进一步研究储计算方法对混沌系统建模的能力，本研究展示了它们的耦合系统之间仍然可以实现同步（图4(a)和(b)）。另外，结果发现在不同的耦合强度下平均回归时间⟨T⟩和回归时间的方差σ都表现出类似的幂律行为（图4(c)和(d)）。这些发现进一步表明在描述混沌系统方面，经过训练的储计算模型可以发挥与解析方程相同的作用。

小结

      本文研究了对混沌系统进行建模的储计算方法。研究发现储计算模型为描述混沌系统提供了一种替代动力学方程的方法。具体地，实验证明了储计算的回归性质与动力学方程的回归性质相同。这一等价性在复杂网络中得到了进一步的证实，多个网络统计量也几乎是相同的。此外，研究还证明了混沌系统和经过训练的储计算模型之间以及它们的耦合系统之间都能实现同步。本研究表明储计算方法为运动方程未知的混沌系统的建模和表征提供了一条新的途径。

作者简介

第一作者 翁同峰

 杭州师范大学副教授，阿里巴巴商学院数字贸易研究中心副主任，杭州市西湖学者，美国数学评论评论员，杭州市科技创新协作员，主要研究方向为复杂系统、人工智能与数字贸易。主持并参与国家级等各类课题10余项，在Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,Information Sciences,Chaos Solitons & Fractals等国际知名期刊上发表SCI论文40余篇，荣获市厅级课题二等奖一项。

通讯作者 Michael Small

 西澳大利亚大学应用数学Winthrop教授，澳大利亚研究理事会未来研究员，IEEE高级会员，澳大利亚数学会会员，Chaos等多家国际知名期刊的编委。研究方向包括混沌、非线性时间序列建模、复杂系统等领域，在PRL，PNAS等国际顶级期刊上发表约180篇论文和3部著作。

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